CK Geek: El sentido de la vida, el universo y todo lo demás… resuelven x³+y³+z³ = 42

Los aficionados a la literatura de ciencia ficción saben que el número 42 está ligado a Douglas Adams, «The Hitchhiker's Guide to the Galaxy,» (1979). Para los matemáticos, desde marzo de 2019, este número era el único menor de 100 del que ignorábamos su suma como tres cubos enteros. El 6 de septiembre de 2019 dicha suma ha sido desvelada por Andrew R. Booker (Univ. Bristol, UK) y Andrew Sutherland (MIT, USA). El artículo aún no se ha publicado, pero Booker ha usado un método similar al que usó para desvelar la suma en tres cubos de 33 (LCMF, 15 mar 2019), pero explorando los números |x|, |y|, |z| ≤ 10¹⁷, en lugar de |x|, |y|, |z| ≤ 10¹⁶. Quizás pienses, ¿por qué dedican los matemáticos muchas horas de computación para resolver este tipo de problemas?

Te cuento la historia de forma breve. En 1825 el matemático S. Ryley demostró que todo número racional se puede representar como la suma de tres cubos de números racionales. En 1955 el matemático Louis Mordell conjeturó que todo número entero n con n (mod 9) ≠ ± 4 se puede escribir como suma de tres cubos de números enteros. En 1993, Heath-Brown, Lioen y Riele encontraron un algoritmo muy eficiente, con coste computacional lineal, para buscar soluciones enteras al problema x³+y³+z³ = n; lo aplicaron a |x|, |y|, |z| ≤ 10⁸, logrando solución para todos los números menores de 100 excepto para 30, 33, 39, 42, 52, 74, 75, y 84. En 2000, Elkies logró optimizarlo aprovechando que basta encontrar un par (z,d) que sea solución de las ecuaciones { x+y=d , x²−xy+y²=(n−z³)/d }; lo aplicó hasta |x|, |y|, |z| ≤ 3 × 10⁹.

Usando el algoritmo de Elkies el gran salto lo dieron Elsenhans y Jahnel en 2009 alcanzando |x|, |y|, |z| ≤ 10¹⁴, y n < 1000; obtuvieron solución para todos los números excepto 33, 42 y 74, por debajo de 100, y 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975, por debajo de 1000. En 2016 Huisham alcanzó |x|, |y|, |z| ≤ 10¹⁵, y resolvió el caso n = 74; en marzo de 2019 Booker alcanzó |x|, |y|, |z| ≤ 10¹⁶, y resolvió el caso n = 33; y, ahora, en septiembre de 2019 Booker y Sutherland tras alcanzar |x|, |y|, |z| ≤ 10¹⁷ han resuelto el caso n = 42. Por supuesto, también han obtenido nuevas soluciones a algunos números ya conocidos, pero tienen menor interés. Siguen quedando sin resolver los once números 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975, por debajo de 1000.

Los artículos citados son D. R. Heath-Brown, W. M. Lioen, H. J. J. te Riele, «On solving the Diophantine equation x³+y³+z³=z on a vector computer,» Math. Comp. 61:235-244 (1993), doi: 10.1090/S0025-5718-1993-1202610-5; Noam D. Elkies, «Rational Points Near Curves and Small Nonzero |x³ − y²| via Lattice Reduction,»International Algorithmic Number Theory Symposium, ANTS 2000: Algorithmic Number Theory, pp. 33-63 in Lecture Notes in Computer Science (LNCS, vol. 1838), doi: 10.1007/10722028_2; Andreas-Stephan Elsenhans, Jörg Jahnel, «New sums of three cubes,» Math. Comp. 78: 1227-1230 (2009), doi: 10.1090/S0025-5718-08-02168-6; Andrew R. Booker, «Cracking the problem with 33,» arXiv:1903.04284 [math.NT]; el nuevo artículo de Booker y Sutherland aún no ha sido publicado, pero se nota que Sutherland está contento pues su página web ahora mismo es la siguiente: